群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。
群同构第一定理
编辑
给定一个群同态
f
:
G
→
G
′
{\displaystyle f:G\to G'}
，根据群同态第一基本定理，我们可以把
G
{\displaystyle G}
除以
f
{\displaystyle f}
的核，使
f
{\displaystyle f}
变成单射。
直观来讲，把一个群
G
{\displaystyle G}
除以
G
{\displaystyle G}
的子群
H
{\displaystyle H}
相当于把
H
{\displaystyle H}
里的元素看成0(一元素）。把
f
{\displaystyle f}
的核除掉后，我们使得
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
只在
x
=
0
{\displaystyle x=0}
时才会成立，这是
f
{\displaystyle f}
的单射性的等价叙述。
我们必须先确定商群具有群的结构，才可以对
G
/
Ker
f
→
G
′
{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'}
进行讨论。
定理：
给定
G
{\displaystyle G}
和
G
′
{\displaystyle G'}
两个群，和
f
:
G
→
G
′
{\displaystyle f:G\rightarrow G'}
群同态。则
Ker
f
{\displaystyle \operatorname {Ker} f}
是一个
G
{\displaystyle G}
的正规子群。
证明：
记
⋅
{\displaystyle \cdot }
为
G
{\displaystyle G}
和
G
′
{\displaystyle G'}
的运算符号，记
e
{\displaystyle e}
和
e
′
{\displaystyle e'}
他们的单位元，我们可以验证
Ker
f
{\displaystyle \operatorname {Ker} f}
在共轭运算下封闭，即对于所有
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
、所有
h
∈
Ker
f
{\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}
，有
x
⋅
h
⋅
x
−
1
∈
Ker
f
{\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}
。
我们有
f
(
x
⋅
h
⋅
x
−
1
)
=
f
(
x
)
⋅
f
(
h
)
⋅
f
(
x
−
1
)
{\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}
。由于
h
{\displaystyle h}
在
Ker
f
{\displaystyle \operatorname {Ker} f}
里面，即
f
(
h
)
=
e
′
{\displaystyle f(h)=e'}
，我们推论
f
(
x
⋅
h
⋅
x
−
1
)
=
f
(
x
)
⋅
f
(
x
−
1
)
=
f
(
x
⋅
x
−
1
)
=
f
(
e
)
=
e
′
{\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}
。因此，
x
⋅
h
⋅
x
−
1
{\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}
在
Ker
f
{\displaystyle \operatorname {Ker} f}
里面，故
Ker
f
{\displaystyle \operatorname {Ker} f}
是
G
{\displaystyle G}
的正规子群。
Ker
f
{\displaystyle \operatorname {Ker} f}
是
G
{\displaystyle G}
的正规子群的这个性质让我们可以在商群
G
/
Ker
f
{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}
上定义一个与
G
{\displaystyle G}
的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故，群同态
f
:
G
→
G
′
{\displaystyle f:G\rightarrow G'}
诱导出群同构
f
^
:
G
/
Ker
f
→
Im
f
{\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}
。
我们有以下的定理：
群同构第一定理
给定
G
{\displaystyle G}
和
G
′
{\displaystyle G'}
两个群，
f
:
G
→
G
′
{\displaystyle f:G\rightarrow G'}
群同态，则
f
{\displaystyle f}
诱导出一个从
G
/
Ker
f
{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}
打到
f
(
G
)
{\displaystyle f(G)}
的群同构。
证明：
记
H
{\displaystyle H}
为
f
{\displaystyle f}
的核。我们定义
f
^
{\displaystyle {\hat {f}}}
为
f
^
(
x
H
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}
.
函数
f
^
{\displaystyle {\widehat {f}}}
定义良好，即
f
^
(
x
H
)
{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}
只依赖于
x
H
{\displaystyle xH}
而与代表
x
{\displaystyle x}
的选择无关。理由是，若
y
∈
G
{\displaystyle y\in G}
是
x
H
{\displaystyle xH}
的一个代表，即若
x
H
=
y
H
{\displaystyle xH=yH}
，则
x
y
−
1
∈
H
=
Ker
f
{\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}
，所以
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)=f(y)}
，从而
f
^
(
x
H
)
=
f
^
(
y
H
)
{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}
。
由商群运算的定义，
f
^
{\displaystyle {\widehat {f}}}
是一个群同态。
群同态
f
^
{\displaystyle {\widehat {f}}}
满射：对于所有
y
∈
f
(
G
)
{\displaystyle y\in f(G)}
，存在
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
使得
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
，由此
f
^
(
x
H
)
=
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}
。
群同态
f
^
{\displaystyle {\widehat {f}}}
单射。理由是：考虑
f
^
{\displaystyle {\widehat {f}}}
的核里的任意元素
x
H
{\displaystyle xH}
，则
e
′
=
f
^
(
x
H
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}
，即
x
{\displaystyle x}
在
f
{\displaystyle f}
的核
H
{\displaystyle H}
里面。又
x
H
=
H
{\displaystyle xH=H}
是
G
/
H
{\displaystyle G/H}
的单位元。
这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合，以下为示意图
交换图
群同构第二定理
编辑
群同构第二定理：
给定群
G
{\displaystyle G}
、其正规子群
N
{\displaystyle N}
、其子群
H
{\displaystyle H}
，则
N
∩
H
{\displaystyle N\cap H}
是
H
{\displaystyle H}
的正规子群，且我们有群同构如下：
H
/
(
H
∩
N
)
≃
H
N
/
N
{\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}
证明：
必须先证明
H
N
{\displaystyle HN}
确实是一个群，以及
N
{\displaystyle N}
限定在
H
N
{\displaystyle HN}
中亦是一个正规子群，才能讨论商群
H
N
/
N
{\displaystyle HN/N}
。
设
h
n
{\displaystyle hn}
和
h
′
n
′
{\displaystyle h'n'}
为
H
N
{\displaystyle HN}
中的两个元素。我们有
h
n
h
′
n
′
=
h
h
′
(
h
′
−
1
n
h
′
)
n
′
{\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'}
，其中
h
h
′
∈
H
{\displaystyle hh'\in H}
,
h
′
−
1
n
h
′
∈
N
{\displaystyle h'^{-1}nh'\in N}
(因为
N
{\displaystyle N}
在
G
{\displaystyle G}
中正规) 且
n
′
∈
N
{\displaystyle n'\in N}
，故
h
n
h
′
n
′
{\displaystyle hnh'n'}
在
H
N
{\displaystyle HN}
中，其证明了
H
N
{\displaystyle HN}
在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及反元素的封闭性。
此外，我们有
N
⊂
H
N
⊂
G
{\displaystyle N\subset HN\subset G}
的包含关系，并且
N
{\displaystyle N}
在
G
{\displaystyle G}
中正规，所以也在
H
N
{\displaystyle HN}
中正规。
为了建构群同构，我们将使用群同构第一定理。
取
j
:
H
↪
H
N
{\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}
单射群同态，定义为
j
(
h
)
=
h
{\displaystyle j(h)=h}
，
取标准满射
σ
:
H
N
↠
H
N
/
N
{\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N}
(值域是个群，因为
N
{\displaystyle N}
在
G
{\displaystyle G}
中正规)。借由复合两个群同态，我们建构出一个新的群同态
f
=
σ
∘
j
:
H
→
H
N
/
N
{\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N}
定义为
f
(
h
)
=
h
N
{\displaystyle f(h)=hN}
。
群同态
f
{\displaystyle f}
是满射。
理由是，设
(
h
n
)
N
∈
H
N
/
N
{\displaystyle (hn)N\in HN/N}
，其中
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
且
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
。由于
n
{\displaystyle n}
在
N
{\displaystyle N}
里面，
h
n
N
=
h
N
{\displaystyle hnN=hN}
，故
h
n
N
=
f
(
h
)
{\displaystyle hnN=f(h)}
。
f
{\displaystyle f}
的核是
H
∩
N
{\displaystyle H\cap N}
。
理由是，
f
(
h
)
=
h
N
{\displaystyle f(h)=hN}
是
H
N
/
N
{\displaystyle HN/N}
的单位元，即
N
{\displaystyle N}
若且唯若，
h
{\displaystyle h}
在
N
{\displaystyle N}
里面。由于
h
{\displaystyle h}
已经在
H
{\displaystyle H}
里面，所以证明这个相当于证明
h
{\displaystyle h}
在
N
∩
H
{\displaystyle N\cap H}
里面。
由群同构第一定理知
N
∩
H
{\displaystyle N\cap H}
是
H
{\displaystyle H}
的正规子群，且其诱导出的映射
f
^
:
H
/
(
N
∩
H
)
→
H
N
/
N
{\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N}
是群同构。
如果我们弱化前提，假设
N
{\displaystyle N}
的正规化子包含
H
{\displaystyle H}
(把相等改成包含)这个定理依然正确。
群同构第三定理
编辑
群同构第三定理：
给定群
G
{\displaystyle G}
，
N
{\displaystyle N}
和
M
{\displaystyle M}
为
G
{\displaystyle G}
的正规子群，满足
M
{\displaystyle M}
包含于
N
{\displaystyle N}
，则
N
/
M
{\displaystyle N/M}
是
G
/
M
{\displaystyle G/M}
的正规子群，且有如下的群同构：
(
G
/
M
)
/
(
N
/
M
)
≃
G
/
N
.
{\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}
证明：
G
/
M
→
G
/
N
,
g
M
↦
(
g
M
)
N
=
g
(
M
N
)
=
g
N
{\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN}
为满射，其核为
N
/
M
{\displaystyle N/M}
所以可由群同构第一定理得到
(
G
/
M
)
/
(
N
/
M
)
≃
G
/
N
.
{\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}