同构基本定理

群论中的同构基本定理形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同构第一定理

编辑

给定一个群同态

f

:

G

G

{\displaystyle f:G\to G'}

,根据群同态第一基本定理,我们可以把

G

{\displaystyle G}

除以

f

{\displaystyle f}

的核,使

f

{\displaystyle f}

变成单射。

直观来讲,把一个群

G

{\displaystyle G}

除以

G

{\displaystyle G}

的子群

H

{\displaystyle H}

相当于把

H

{\displaystyle H}

里的元素看成0(一元素)。把

f

{\displaystyle f}

的核除掉后,我们使得

f

(

x

)

=

0

{\displaystyle f(x)=0}

只在

x

=

0

{\displaystyle x=0}

时才会成立,这是

f

{\displaystyle f}

的单射性的等价叙述。

我们必须先确定商群具有群的结构,才可以对

G

/

Ker

f

G

{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'}

进行讨论。

定理:

给定

G

{\displaystyle G}

G

{\displaystyle G'}

两个群,和

f

:

G

G

{\displaystyle f:G\rightarrow G'}

群同态。则

Ker

f

{\displaystyle \operatorname {Ker} f}

是一个

G

{\displaystyle G}

的正规子群。

证明:

{\displaystyle \cdot }

G

{\displaystyle G}

G

{\displaystyle G'}

的运算符号,记

e

{\displaystyle e}

e

{\displaystyle e'}

他们的单位元,我们可以验证

Ker

f

{\displaystyle \operatorname {Ker} f}

在共轭运算下封闭,即对于所有

x

G

{\displaystyle x\in G}

、所有

h

Ker

f

{\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}

,有

x

h

x

1

Ker

f

{\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}

我们有

f

(

x

h

x

1

)

=

f

(

x

)

f

(

h

)

f

(

x

1

)

{\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}

。由于

h

{\displaystyle h}

Ker

f

{\displaystyle \operatorname {Ker} f}

里面,即

f

(

h

)

=

e

{\displaystyle f(h)=e'}

,我们推论

f

(

x

h

x

1

)

=

f

(

x

)

f

(

x

1

)

=

f

(

x

x

1

)

=

f

(

e

)

=

e

{\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}

。因此,

x

h

x

1

{\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}

Ker

f

{\displaystyle \operatorname {Ker} f}

里面,故

Ker

f

{\displaystyle \operatorname {Ker} f}

G

{\displaystyle G}

的正规子群。

Ker

f

{\displaystyle \operatorname {Ker} f}

G

{\displaystyle G}

的正规子群的这个性质让我们可以在商群

G

/

Ker

f

{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}

上定义一个与

G

{\displaystyle G}

的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故,群同态

f

:

G

G

{\displaystyle f:G\rightarrow G'}

诱导出群同构

f

^

:

G

/

Ker

f

Im

f

{\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}

我们有以下的定理:

群同构第一定理

给定

G

{\displaystyle G}

G

{\displaystyle G'}

两个群,

f

:

G

G

{\displaystyle f:G\rightarrow G'}

群同态,则

f

{\displaystyle f}

诱导出一个从

G

/

Ker

f

{\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}

打到

f

(

G

)

{\displaystyle f(G)}

的群同构。

证明:

H

{\displaystyle H}

f

{\displaystyle f}

的核。我们定义

f

^

{\displaystyle {\hat {f}}}

f

^

(

x

H

)

=

f

(

x

)

{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}

.

函数

f

^

{\displaystyle {\widehat {f}}}

定义良好,即

f

^

(

x

H

)

{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}

只依赖于

x

H

{\displaystyle xH}

而与代表

x

{\displaystyle x}

的选择无关。理由是,若

y

G

{\displaystyle y\in G}

x

H

{\displaystyle xH}

的一个代表,即若

x

H

=

y

H

{\displaystyle xH=yH}

,则

x

y

1

H

=

Ker

f

{\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}

,所以

f

(

x

)

=

f

(

y

)

{\displaystyle f(x)=f(y)}

,从而

f

^

(

x

H

)

=

f

^

(

y

H

)

{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}

由商群运算的定义,

f

^

{\displaystyle {\widehat {f}}}

是一个群同态。

群同态

f

^

{\displaystyle {\widehat {f}}}

满射:对于所有

y

f

(

G

)

{\displaystyle y\in f(G)}

,存在

x

G

{\displaystyle x\in G}

使得

f

(

x

)

=

y

{\displaystyle f(x)=y}

,由此

f

^

(

x

H

)

=

f

(

x

)

=

y

{\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}

群同态

f

^

{\displaystyle {\widehat {f}}}

单射。理由是:考虑

f

^

{\displaystyle {\widehat {f}}}

的核里的任意元素

x

H

{\displaystyle xH}

,则

e

=

f

^

(

x

H

)

=

f

(

x

)

{\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}

,即

x

{\displaystyle x}

f

{\displaystyle f}

的核

H

{\displaystyle H}

里面。又

x

H

=

H

{\displaystyle xH=H}

G

/

H

{\displaystyle G/H}

的单位元。

这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合,以下为示意图

交换图

群同构第二定理

编辑

群同构第二定理:

给定群

G

{\displaystyle G}

、其正规子群

N

{\displaystyle N}

、其子群

H

{\displaystyle H}

,则

N

H

{\displaystyle N\cap H}

H

{\displaystyle H}

的正规子群,且我们有群同构如下:

H

/

(

H

N

)

H

N

/

N

{\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}

证明:

必须先证明

H

N

{\displaystyle HN}

确实是一个群,以及

N

{\displaystyle N}

限定在

H

N

{\displaystyle HN}

中亦是一个正规子群,才能讨论商群

H

N

/

N

{\displaystyle HN/N}

h

n

{\displaystyle hn}

h

n

{\displaystyle h'n'}

H

N

{\displaystyle HN}

中的两个元素。我们有

h

n

h

n

=

h

h

(

h

1

n

h

)

n

{\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'}

,其中

h

h

H

{\displaystyle hh'\in H}

,

h

1

n

h

N

{\displaystyle h'^{-1}nh'\in N}

(因为

N

{\displaystyle N}

G

{\displaystyle G}

中正规) 且

n

N

{\displaystyle n'\in N}

,故

h

n

h

n

{\displaystyle hnh'n'}

H

N

{\displaystyle HN}

中,其证明了

H

N

{\displaystyle HN}

在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及反元素的封闭性。

此外,我们有

N

H

N

G

{\displaystyle N\subset HN\subset G}

的包含关系,并且

N

{\displaystyle N}

G

{\displaystyle G}

中正规,所以也在

H

N

{\displaystyle HN}

中正规。

为了建构群同构,我们将使用群同构第一定理。

j

:

H

H

N

{\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}

单射群同态,定义为

j

(

h

)

=

h

{\displaystyle j(h)=h}

取标准满射

σ

:

H

N

H

N

/

N

{\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N}

(值域是个群,因为

N

{\displaystyle N}

G

{\displaystyle G}

中正规)。借由复合两个群同态,我们建构出一个新的群同态

f

=

σ

j

:

H

H

N

/

N

{\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N}

定义为

f

(

h

)

=

h

N

{\displaystyle f(h)=hN}

群同态

f

{\displaystyle f}

是满射。

理由是,设

(

h

n

)

N

H

N

/

N

{\displaystyle (hn)N\in HN/N}

,其中

h

H

{\displaystyle h\in H}

n

N

{\displaystyle n\in N}

。由于

n

{\displaystyle n}

N

{\displaystyle N}

里面,

h

n

N

=

h

N

{\displaystyle hnN=hN}

,故

h

n

N

=

f

(

h

)

{\displaystyle hnN=f(h)}

f

{\displaystyle f}

的核是

H

N

{\displaystyle H\cap N}

理由是,

f

(

h

)

=

h

N

{\displaystyle f(h)=hN}

H

N

/

N

{\displaystyle HN/N}

的单位元,即

N

{\displaystyle N}

若且唯若,

h

{\displaystyle h}

N

{\displaystyle N}

里面。由于

h

{\displaystyle h}

已经在

H

{\displaystyle H}

里面,所以证明这个相当于证明

h

{\displaystyle h}

N

H

{\displaystyle N\cap H}

里面。

由群同构第一定理知

N

H

{\displaystyle N\cap H}

H

{\displaystyle H}

的正规子群,且其诱导出的映射

f

^

:

H

/

(

N

H

)

H

N

/

N

{\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N}

是群同构。

如果我们弱化前提,假设

N

{\displaystyle N}

的正规化子包含

H

{\displaystyle H}

(把相等改成包含)这个定理依然正确。

群同构第三定理

编辑

群同构第三定理:

给定群

G

{\displaystyle G}

N

{\displaystyle N}

M

{\displaystyle M}

G

{\displaystyle G}

的正规子群,满足

M

{\displaystyle M}

包含于

N

{\displaystyle N}

,则

N

/

M

{\displaystyle N/M}

G

/

M

{\displaystyle G/M}

的正规子群,且有如下的群同构:

(

G

/

M

)

/

(

N

/

M

)

G

/

N

.

{\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}

证明:

G

/

M

G

/

N

,

g

M

(

g

M

)

N

=

g

(

M

N

)

=

g

N

{\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN}

为满射,其核为

N

/

M

{\displaystyle N/M}

所以可由群同构第一定理得到

(

G

/

M

)

/

(

N

/

M

)

G

/

N

.

{\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}